[ Предыдущий раздел ] [ Следующий раздел ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта ]

(Глава 2, § 1)

6. НЕТОЧНОСТЬ КОНТРОЛЯ НАД СИСТЕМОЙ И ЭНТРОПИЯ

Определим сначала энтропию для одномерной системы с одной частицей. Ввиду того, что по традиционным представлениям это звучит достаточно курьезно, перечислим наши основания.

Часто говорят, что термодинамическое описание становится более адекватным с ростом числа частиц в силу уменьшения по статистическим законам роли флуктуаций, нарушающих точную однозначность термодинамических закономерностей. Надо сказать, что общая беда большинства работ по обоснованию статистической физики и термодинамики заключается в попытках связать чуть ли не все эффекты макроскопического порядка с какой-либо одной-единственной, все порождающей причиной. Обычно это большое число частиц. Большое число частиц должно давать и однозначность адиабаты, и необратимость неравновесных процессов, и точную аддитивность энтропии после учета неразличимости перестановок тождественных частиц (согласно предельному равенству в формуле Стирлинга) и т.п. К сожалению, совершенно аналогично энтропия считается одинаково определенной и имеющей один и тот же смысл и одинаковые свойства в самых разных областях - от тепловой машины до плазмы и даже до черных дыр, на которые аккретирующее вещество зачем-то переносит свою энтропию. Это именно тот случай, о котором говорил Гильберт, когда безуспешно пытаются решить большую, общую задачу, не разобравшись досконально с более ограниченными и простыми.

Как должно быть понятно, системы получающихся эффектов, которые должны быть отражены теориями, определяются не только составляющими объект элементами, но и всеми действиями с ними, контролем над ними. Очевидно, что контроль над частицами в «медленных» тепловых машинах отличается от контроля, скажем, над частицами устойчивых кристаллов. Но тогда ниоткуда не следует, что какие-то эффекты, например, аддитивности должны порождаться в обоих случаях по одному и тому же механизму. Конечно, есть ситуации, когда чистота проявления какого-то закона растет с увеличением числа частиц. Но однозначность изменения внутренней энергии и давления при изменении объема в адиабатическом пределе вообще не зависит от числа частиц, а по существу только эта однозначность и порождает такое вполне термодинамическое требование, как необходимость холодильника для циклической машины. Для одной частицы аналогично случаю с любым числом частиц может быть определено не флуктуирующее давление, образующее с другими переменными замкнутую систему, полностью описывающую как стационарное макросостояние, так и его изменения в результате допустимых макроскопических воздействий, определенных в данной схеме контроля и термодинамики. Вероятность, зависящая от числа частиц, появляется на этапе установления теплового или иного неравновесного контакта между системами. Однако этот этап является все же довольно посторонним по отношению к непосредственной причине, вызывающей необходимость холодильника. Кроме того, как известно из термодинамики, на адиабате сохраняется энтропия, т.е. на разных адиабатах и значения энтропии разные, т.е. именно адиабате присуща какая-то чистая характеристика, определяющая энтропию, а теплопередачи при контактах, с той или иной степенью однозначности (в зависимости от числа частиц) переводящие систему на другие адиабаты, просто меняют эту характеристику, но сама по себе на адиабате она определена без всяких флуктуаций при любом числе частиц. Адиабата существует и для одной частицы, поэтому и для одной частицы на адиабате можно и нужно определить энтропию.

Итак, обратимся к определению энтропии системы с одной частицей.

Имея макронаблюдаемые объем и давление, мы можем по обычным правилам написать для энтропии феноменологическое выражение, но нам надо получить, что называется, статистическое выражение, обращаясь к более глубоким, чем термодинамическая феноменология, основаниям и переменным.

Стандартная статистическая энтропия пропорциональна логарифму некоторого объема в фазовом пространстве системы. Обычная трудность заключалась именно в получении этого ненулевого фазового объема /8,9/. Теперь же у нас есть неточность в действии D из (5). Эта величина характеризует грубость контроля над микросистемой, не позволяющую получить результат, максимально допустимый механикой. Энтропия в традиционной интерпретации, в том числе и при феноменологическом рассмотрении, также связывается с некоторой трудностью в получении работы за счет имеющейся тепловой энергии. Это говорит в пользу существенной связи энтропии с неопределенностью в действии. Если же говорить об их поведении в процессах, то следует отметить тот важный факт, что в разных точках адиабаты величина

в силу (1) или (4) сохраняется, как и энтропия: D есть адиабатический инвариант. (D взято равным Lp, так как константа пропорциональности имеет порядок единицы и ее точное значение здесь не существенно.) Ввиду одновременного сохранения на адиабате энтропии и неточности в действии должно быть S = S(D ). Выбирая обычный вид S, можем записать

S = k ln(Lp) - S0 ,

(6)

где k - постоянная Больцмана, а S0 - начало отсчета. При исходной классической микромеханике, способной в принципе контролировать действительное состояние системы абсолютно точно, указывая единственную фазовую точку системы, мы можем пользоваться только разностью значений энтропии в различных не точно контролируемых состояниях. Одно значение энтропии будет отличаться от другого на конечную величину соответственно тому, что неточности в действии будут отличаться одна от другой в конечное число раз, в то время как сравнение этих неточностей с нулевой неточностью механики и их логарифмов приводило бы к бесконечностям. Иная ситуация была бы в случае квантовой микромеханики, где есть исходная ненулевая неточность в действии, и тогда можно было бы ввести абсолютный отсчет энтропии (что и делается с помощью теоремы Нернста).

В термодинамической теории температура, вопреки расхожим о ней представлениям, величина не менее сложная, чем энтропия. Стандартное ее определение через производную энтропии по энергии при постоянном объеме в нашем случае дает

Таким образом, энтропия и термодинамическая температура оказываются характеристиками неточности контроля над микросистемой в термодинамике. Тепловая энергия - это не энергия «хаотического движения», которое не может быть определено, а в некотором смысле плохо контролируемая энергия, в принципе определимая даже для одной частицы.

Можно работать с частицей и контролировать ее с помощью тех же макропараметров и тогда, когда она каким-то образом имеет контакт с термостатом. Как в таком случае записать энтропию? Если при контакте не изменятся ни макронаблюдаемые, ни макротраектория (адиабата - если средняя энергия частиц термостата регулируется соответствующим образом), то макропеременные, описывающие контроль над частицей в такой ситуации, логично приравнять макропеременным рассмотренной выше изолированной системы. Заметим, что в феноменологической термодинамике системы не различаются по распределениям: все внутренние подробности для равновесной (с медленными движениями) термодинамики безразличны, не наблюдаемы. Важно лишь, чтобы совпадали макронаблюдаемые и макропроцессы и чтобы ту же часть энергии газа можно было превратить в работу.

Итак, предполагаем, что термостат может менять энергию частицы, оставляя в соответствующих состояниях ту же среднюю энергию, что и энергия частицы без термостата. Тогда при каждом L давление P не меняется по сравнению со случаем частицы без термостата. Тогда макропеременные, в том числе S, T и характеристическую неточность D следует приравнять макропеременным изолированной системы. Следовательно

S = k ln(Lpэфф) - S ,

где E - средняя энергия частицы, в частном случае изолированной системы равная ее точной энергии, pэфф имеет смысл некоторого эффективного, характеристического импульса.

Таким образом, энтропия и термодинамическая температура могут быть введены и без термостата, и с термостатом любой мощности. Требования к импульсным распределениям - самые слабые, в частности, распределения могут быть дискретными. Единственная черта распределения, определяющая здесь макропеременные и макропроцессы - средняя энергия. В рассмотренной ситуации термодинамическая температура с точностью до множителя совпадает со средней энергией и не обязана быть, скажем, параметром непрерывного максвелловского распределения. Тем самым снимается принципиальная трудность стандартного статистического подхода - необходимость пользоваться непрерывными распределениями, в то время как классическая система сама по себе может характеризоваться лишь единственной фазовой траекторией. Вся вероятность, порождающая статистику, происходит от нескоррелированности внешних воздействий с состоянием микросистемы как в случае системы в термостате, так и в случае изолированной системы. Подчеркнем, что эта нескоррелированность определима лишь как особая оценка качества действий «наблюдателя», преследующего некоторую цель, и связана с качеством характерных для этих действий результатов. С точки же «зрения» самой механики оценка происходящего как более или менее скоррелированного совершенно неуместна. Объективно результат одного движения ничем не лучше результата другого. Для системы самой по себе совершенно безразлично, куда идет часть или вся энергия - на поднятие груза или на увеличение энергии холодильника, поэтому коэффициент полезного действия, о котором мы все печемся, без заинтересованного «наблюдателя» лишен смысла и не определим, поэтому же и энтропия, и температура, и вообще макросостояние и макрозаконы без оного не существуют.

Нам осталось определить энтропию для набора частиц, и тут мы естественно сталкиваемся с вопросом ее аддитивности. Выберем следующий путь. Предварительно выясним смысл, причины и условия аддитивности, а затем построим выражение для энтропии с учетом выявленного, чтобы не получалось, как в традиционной методике, что сначала строится выражение, а затем корректируется с практически апостериорным оправданием.

[ Предыдущий раздел ] [ Следующий раздел ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта ]