[ Предыдущий раздел ] [ Следующий раздел ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта ]

(Глава 2, § 1)

3. НЕЗАВИСИМОСТЬ РАБОТЫ СЖАТИЯ И РАСШИРЕНИЯ ОТ МИКРОСОСТОЯНИЯ

Итак, ясно, что сама по себе механика, справедливость которой мы здесь предположили, не обязательно приводит к результатам, систематизация которых порождает термодинамику тепловой машины. Попробуем выделить основные условия, обеспечивающие такие результаты. Фактически нам надо по меньшей мере выяснить, когда газ из дискретных частиц выглядит с точки зрения воздействий на него со стороны поршня как сплошная упругая среда, так что энергия газа оказывается однозначно связанной с объемом. Эти условия надо сопоставить с теми реальными, которые имеют место при обычной работе тепловых машин, хотя бы тех, что работали во времена возникновения термодинамической теории и привели к ней.

Снова рассмотрим одномерный «объем» L с движущейся в нем частицей. Как мы уже выяснили, при изменении объема на D L конечная (результирующая) энергия частицы может оказываться различной в зависимости от ее начального положения и направления скорости и от временного характера движения стенки. Сначала укажем простой частный случай, когда результат становится однозначным в следующем смысле: хотя начальные и конечные положения частицы внутри объема и направления ее скорости могут быть различными, конечная величина скорости и, соответственно, конечная энергия частицы точно фиксируются начальными значениями энергии и объема и изменением объема. Для этого разберем вариант равномерного движения поршня (стенки).

Пусть стенка вдвигается с постоянной скоростью vст внутрь объема, начальная величина которого равна L0 . Если частица начинает движение из точки x, как показано на рис. 4, то координата точки n-го столкновения частицы со стенкой равна

где a есть отношение скорости стенки к начальной (т.е. к минимальной) скорости частицы.

Рис. 4.

Для заданного конечного объема L число столкновений n равно целой части от

Для разных начальных x разница в числе столкновений

Посмотрим, что получается при медленном движении стенки.

С уменьшением a    Ln перестает зависеть от x, в то же время Ln может стать любым из (0,L0 ), что будет возможно при большом числе столкновений. Тогда n ® Ґ и D n/ n ® 0 при a L0/ D L ® 0, т.е. медленное изменение объема на D L сопровождается приблизительно одинаковым для всех возможных начальных x и направлений начальной скорости большим числом столкновений. За каждое столкновение скорость частицы меняется на две скорости стенки vст. Тогда в пределе a ® 0 для всевозможных начальных x изменение величины скорости частицы при изменении объема на dL подчиняется уравнению

Ѕ dvЅ = 2 vст ґ n = v Ѕ dLЅ / L .

Отсюда с учетом знака

vL = const.,

(1)

и

EL2 = const.,

(2)

где E - кинетическая энергия.

Заметим как важнейший факт, что в эти соотношения не входит зависимость ни от исходных, ни от принимаемых в любой другой момент значений координаты частицы и знака ее скорости, ни также от конкретного значения скорости поршня - лишь бы она была малой по сравнению со скоростью частицы. Кроме того, соотношения (1) и (2) сохранятся при любом числе частиц, если E будет обозначать их суммарную кинетическую энергию, причем независимо от конкретных распределений частиц по скоростям.

Итак, обнаружился случай, когда изменение энергии частиц газа однозначно связывается с величиной объема. При этом рабочая среда эффективно представляется как сплошная. Дискретная структура рабочего тела становится незаметной, ненаблюдаемой, движения поршня в какую-либо сторону с последующим его возвращением сохраняют кинетическую энергию частиц газа и дают за замкнутый цикл нулевую работу. Для циклической машины с таким идеально упругим рабочим веществом потребуется холодильник.

Рассмотренный пример - частный случай из более общего класса изменений состояния системы при воздействиях на нее предельно медленных по сравнению со скоростями внутреннего движения в системе - так называемых адиабатически медленных или просто адиабатических воздействиях. (Не следует путать указанную здесь адиабатичность с обычно употребляемой в стандартной термодинамике адиабатичностью процесса в смысле отсутствия передач тепла, когда адиабатой называется макроскопическая траектория, получающаяся при изменении объема теплоизолированной системы. Адиабаты в этих двух пониманиях практически совпадут, если феноменологическую термодинамику применять только к машинам с медленными движениями поршня, что как раз и имело место во времена Сади Карно и Клаузиуса.)

Величины или комбинации величин, сохраняющиеся при адиабатически медленных воздействиях, называются адиабатическими инвариантами. В «регулярных», основанных на классическом анализе и не прибегающих к теории вероятностей математических выводах адиабатических инвариантов используют (и ищут) условия (ограничения), связанные с гладкостью функций /33/. Например, можно расширить область сохранения величины Lv при медленных движениях также на случай неравномерного движения, но, скажем, при ограниченных ускорениях стенки. Однако подобные условия чрезмерно ограничительны. Они разрешают лишь относительно узкий класс случаев, когда из допускаемых движений просто заведомо невозможно организовать достаточно эффективный подбор согласованных (скоррелированных) движений стенки, достаточных для заметного нарушения зависимости Lv = const. Но если никто этого подбора специально не организует, то эффект может остаться практически прежним и при допустимости больших ускорений и даже самих скоростей. Условием этого является малая средняя скорость стенки на всех (пространственных) участках движения, что формально совместимо с возможностью больших мгновенных скоростей при специальном порядке стремления к нулевым пределам интервала усреднения по времени и отношения максимума средней скорости к скорости частицы. Последний переход к пределу (адиабатичность средней скорости) должен обеспечиваться в первую очередь, что при конечных мгновенных скоростях всегда выполнимо. Тогда величина Lv сохранится потому, что при малой средней скорости число ударов частицы о стенку очень велико, и вероятность накопления какого-либо перевеса для заметного нарушения адиабатического инварианта стремится к нулю. Вероятность одновременного и одностороннего накопления «неудачных» ударов уменьшается с ростом числа частиц. В общем по крайней мере в простых реальных случаях для существования нашего адиабатического инварианта достаточно малой средней скорости и отсутствия специальной скоррелированности движений стенки с состоянием микросистемы. Это расширение класса условий, обеспечивающих существование рассматриваемого адиабатического инварианта, важно ввиду того, что в реальности медленно движущийся поршень состоит из быстро движущихся в тепловом движении частиц, и лишь «хаотичность» (несогласованность в указанном смысле) их движения приводит к однозначности траектории в переменных L-v (или L-E). При в среднем быстрых движениях, когда столкновений мало, случайные согласования могут реализоваться с заметной вероятностью, приводя к зависимости результата не только от изменений объема, но и от начального состояния микросистемы и от точного характера движения стенки во времени. Тогда вырождения зависимости энергии (и работы) от точного характера микропроцессов, что требуется для нормальной термодинамики, не будет, система частиц проявит свои дискретные свойства.

[ Предыдущий раздел ] [ Следующий раздел ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта ]