Однако до сих пор уже очень многие годы остается нерешенным ряд принципиальных вопросов. Ответы на некоторые совершенно неясны, в решении других у разных авторов нет единства, так что общая ситуация не слишком радужна.

Обычно явно или неявно считается, хотя это ниоткуда не следует, что разрешение существующих трудностей не принесет ничего радикально нового и полезного, а многие авторитетные специалисты, занимающиеся приложениями - так сказать, конкретной статистикой, - вообще не видят иных трудностей, кроме технических.

Оправдание применяемых методов мощью результатов хорошо до поры - до времени. Наличие темных мест в обосновании статистики не дает возможности или по крайней мере морального права точно указать границы адекватности тех или иных методов и соответствующих заключений.

Традиционно существуют три круга проблем: о взаимоотношении детерминизма и вероятности в классической статистике, о природе термодинамической необратимости при обратимой механике и парадоксы Гиббса. Эти вопросы, как можно показать, не выходят за рамки классической физики, а столь долгое отсутствие общеприемлемого решения наталкивает на мысль, что их можно было бы назвать третьим облачком на прекрасном небе классической физики помимо тех двух, которые не успел развеять девятнадцатый век и которые позже вылились в теорию относительности и квантовую механику.

Можно подумать, что отсутствие существенного прогресса в понимании основ, природы, смысла, границ и условий применимости статистической физики и в разрешении принципиальных теоретических трудностей объясняется как успешностью многочисленных ее приложений, что создает видимость полного ее здоровья и дает возможность оттягивать «операцию», так и сложностью систем и экстремальностью условий, для которых, по-видимому, оказывается неприменимой стандартная статистика - при такой сложности бывает и так, что разные исследователи высказывают противоположные мнения по поводу того, согласуются ли наблюдаемые явления с выводами статистики или противоречит им. В запутанной ситуации расхождения с предсказаниями теории потенциально могут быть отнесены за счет плохого понимания конкретной задачи или затруднений с учетом всех важных факторов.

В докладе на II Всемирном Конгрессе математиков Давид Гильберт указал на важный общезначимый механизм происхождения трудностей в теории и, одновременно, на способ их преодоления. «Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще не разрешены или не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная. Тогда все дело заключается в том, чтобы найти эти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению.» (/6/, стр. 21) Надо признать, что описание явлений, оказавшихся камнем преткновения для классической физики - релятивистских эффектов, равновесного излучения черного тела, фотоэффекта, спектра атома водорода - формально было весьма простым и получалось достаточно однозначно. Окажись наблюдаемые посложней - и развитие новой, неклассической физики, несомненно, не было бы таким стремительным и дружным. И для статистики было бы полезным искать и анализировать наиболее простые ситуации, или могущие быть исследованными с максимальной полнотой, так, чтобы происходящее было вполне понято, или недвусмысленно указывающие на какие-то отклонения от предсказываемого теорией поведения.

Во всяком случае, надо полностью осознавать существование проблем и отдавать себе отчет в том, что совершенно недопустимые противоречия остаются непреодоленными.

Самая сложная проблема, с которой сталкивается обоснование классической статистической механики - проблема взаимоотношения детерминизма и вероятности. Это очень большая тема, имеющая давнюю историю, изучавшаяся с различных сторон от философии до математики. Соответствующие обзоры имеют самостоятельную ценность. Здесь для постановки вопроса будет проведено качественное рассмотрение основных моментов.

Объекты, с которыми имеет дело классическая статистика - системы частиц, поведение которых подчиняется однозначным законам классической механики. Координаты и импульсы частиц в каждый момент имеют строго определенные значения. Это детерминистские системы. Состояние системы точечных частиц полностью, необходимым и достаточным образом, определяется указанием фазовой точки в 6N-мерном пространстве координат и импульсов всех N частиц. Движение частиц во времени может быть изображено фазовой траекторией, все точки которой проходятся строго последовательно. При задании взаимодействий траектория вполне определяется любой своей точкой. При таком поведении частиц при любом их числе для вероятности в системе не остается места по определению.

Существенный же элемент статистики - вероятность. В статистическом подходе предполагается, что имеющийся набор частиц (микросистема) может быть, а может и не быть в некоторой области фазового пространства, причем «может быть» и «может не быть» означают не разделение областей на доступные и недоступные, а то, что, скажем, несмотря на обнаружение частиц в какой-то области наблюдение в другой раз в таких же условиях может их там не обнаружить - в отличие от абсолютной повторяемости в механике. Это относится не только к области, занимаемой фазовой траекторией реальной системы частиц. Статистика работает с областью, занимающей конечный, ненулевой объем (или ненулевую поверхность) в фазовом пространстве. Применимость вероятности к описанию системы означает, что любой предварительный набор измерений микропеременных в принципе не может помочь точно предсказать результаты измерений микропеременных ни в какой из последующих моментов времени. В лучшем случае предсказуема лишь конечная область возможных исходов таких испытаний, и все точки области являются в статистике допустимыми, доступными.

Возможность прохождения траекторией каждой точки фазового объема анализировалась с помощью теории меры. В полном соответствии с обычным здравым смыслом строгая математика утверждает, что фазовая траектория механической системы зачерчивает лишь нулевой объем: точки траектории «образуют последовательность меры нуль на энергетической поверхности, мера которой отлична от нуля» (см. обзор Д.Тер-Хаара /7/), т.е. так называемых эргодических систем, фазовая траектория которых проходит через каждую точку энергетической поверхности, не существует, на этом пути ввести вероятность, статистику нельзя.

В каких же пунктах аппарата статистики важен вопрос о соотношении детерминизма и вероятности?

Важнейший прием статистической механики - замена средних по времени для одной системы (средних по состояниям на фазовой траектории) средними по ансамблю - по всем (микро)состояниям в области конечного фазового объема (или поверхности) в фазовом пространстве, порождающим те же измеряемые макроскопические величины, что и у исходной системы, но отличающимся друг от друга в микроскопическом отношении. В этом пункте возникают два трудных вопроса.

1) Насколько эквивалентна такая замена, ведь в конечном фазовом объеме состояний, мягко говоря, гораздо больше, чем на траектории?

2) С какой плотностью (плотностью априорной вероятности) заполнять ансамбль?

Хотя изучению этих проблем посвящено множество работ, четкое решение задачи не найдено и ясное понимание оснований статистики не достигнуто. Давно известные трудности оказываются очень живучими.

Тер-Хар в обзоре /7/ заключает, что подходы к обоснованию классической статистики «оказываются уязвимыми в одном и том же пункте», связанном с расширением области от траектории до конечного объема, т.е. именно с переходом от детерминизма к вероятности.

А.А.Власов /9/ также считал эту трудность непреодолимой и предлагал принять некоторого рода статистические, вероятностные свойства частиц в качестве первичных, исходных. Детерминистское поведение в таком случае должно получаться в пределе малых дисперсий (очень сжатых ансамблей).

Если не отдавать себе отчета в принципиальном различии детерминизма и вероятности, можно получить, как можно подумать, очевидный и разумный результат, который, тем не менее, будет бессмысленным, по крайней мере без дополнительных уточнений. Можно привести простой наглядный пример того, во что выливается подобная некритичность.

Рис. 1.

В учебниках оценка термодинамической вероятности состояния часто иллюстрируется следующим образом. Объем, в котором находятся частицы, мысленно разбивается на части. В предположении о постоянной внутри объема плотности вероятности нахождения любой частицы подсчитывается с использованием формул комбинаторики вероятность обнаруженного распределения частиц по этим частям объема и утверждается, что эта вероятность характеризует состояние частиц газа в сосуде. При такой оценке оказывается, что состояние, изображенное на рис. 1а (где пунктиром указано мысленное разбиение), более вероятно, чем состояние на рис. 1б, так как, якобы, реализуется большим числом способов. Да, большим числом способов размещения частиц по изображенным подобъемам, но не вообще! Ведь в действительности никакого разбиения нет! Мысленно могло бы быть выбрано другое разбиение. Вообще допустимо несчетное множество различных разбиений, относительно которых оценка вероятности реализации данного набора координат давала бы различные значения. Какое из них по отдельности или какая их комбинация истинна? И поэтому приведенная оценка не является вероятностной характеристикой системы самой по себе, и нельзя сказать, что состояние 1а (без пунктирной перегородки, которой в реальности нет) более вероятно, чем состояние 1б. Оценка с разбиением характеризует систему по отношению к указанному разбиению и не больше. Такая оценка без разбиения не возникает, а разбиение самой системой не определяется.

Рис. 2.

Можно указать на любопытный и многозначительный факт. Если для оценки дана система, изображенная на рис. 2а, то первое побуждение - провести разбиение вертикально, хотя разбиение по горизонтали или любое другое, делящее объем на две равные части, объективно ничем не хуже. В случае же системы 2б естественным кажется разбиение по горизонтали - все это аналогично тому, как на просьбу быстро, не задумываясь, назвать фрукт, неискушенный житель средней полосы машинально отвечает: «Яблоко». Такое впечатление естественности разбиения скрывает его неестественность, субъективные моменты его происхождения.

На произвол в разбиении уже давно обращали внимание. Например: на сколько частей разбивать объем, ведь ответы будут различны? Более того, поверхности, разбивающие объем на части, «имеют право» быть любой формы, так что можно получить любой ответ. Всегда можно выбрать разбиение так, что в одной части окажутся все частицы, а в другой - ни одной, причем в случае точечных частиц первая часть может быть сколь угодно малого объема (в случае же частиц конечных размеров достаточно говорить о центрах тяжести частиц, ведь речь идет о подсчете разных их возможных состояний). Если подобным образом оценивать даже не мгновенное состояние, а среднее за некоторый интервал времени, однозначного ответа получить все же нельзя именно в силу того, что фазовая точка при своем движении зачерчивает лишь нулевой объем. Эта трудность остается и при обычно предлагаемом разбиении на «физически» бесконечно малые ячейки, которые малы, но содержат достаточно много частиц. И этих условий недостаточно, так как ответ будет зависеть от формы ячеек.

Одним словом, естественного критерия разбиения нет. Безотносительно же к разбиению о числе способов реализации данного состояния говорить не приходится. Вероятность любого распределения (расположения) частиц по координатам при непрерывной плотности вероятности равна нулю - все возможные состояния системы частиц в объеме в этом смысле равноценны. Таким образом, приведенное «комбинаторное» понимание термодинамической вероятности несостоятельно, для классических систем нет естественного критерия равновесности или неравновесности, порядка и беспорядка. Упорядоченность системы - не абсолютная характеристика, объективно свойственная системе самой по себе.

Может быть неожиданное усложнение казалось бы простой задачи оценки состояния и нагромождение произвола при попытке получить нетривиальный ответ заставляют считать изложенное выше понимание термодинамической вероятности несерьезным. В этом подходе все же есть рациональное зерно, иначе он долго не продержался бы, но оно остается не осознанным. (Смысл, в котором указанная оценка может быть (и бывает) полезной, будет в некоторой степени разъяснен позже.)

Совершенно аналогичная проблема появляется и в гораздо более привычной задаче определения плотности числа частиц при заданных их координатах. И тут ответ зависит от формы элементарных объемов, по которым проводится усреднение. Если даже и бывают какие-то основания для специального выбора форм, то уж во всяком случае они не порождаются самой системой.

Можно упомянуть точку зрения, согласно которой характерная для статистики область ненулевого объема в фазовом пространстве отражает наше незнание точного состояния реальной системы. В таком случае эта область самой системой автоматически не определяется, и совсем не обязательно стараться зачертить ее фазовой траекторией. Но тогда желательно, чтобы было более строго определено, что такое «незнание», как оно размазывает реальную фазовую точку и почему и когда среднее по времени можно заменить средним по «незнанию». К сожалению, обычно ограничиваются лишь краткими ссылками на сложность измерения и расчета движения большого количества частиц, на конечную разрешающую способность приборов и т.п.

Часто считают, что статистика предназначена для описания результатов повторяющихся опытов, микроскопические начальные условия при которых могут быть различными. Не отвергая целиком такого подхода, следует все же указать на следующие сложности. Во-первых, по-видимому, и при такой интерпретации возникает трудный вопрос об априорных вероятностях появления тех или иных начальных микросостояний /8/. Во-вторых, и это, видимо, ограничивает область применимости рассматриваемой интерпретации, - в ряде ситуаций на моделях можно показать, что характерный для термодинамики ответ должен получаться для почти всех разрешенных начальных микросостояний, т.е. с большей, чем указывает статистика, вероятностью (см. главу 2).

Теперь вспомним, что в статистической интерпретации энтропия есть величина, пропорциональная логарифму термодинамической вероятности состояния или логарифму фазового объема. Если рассматриваемую здесь «несоизмеримость» детерминизма и вероятности нельзя преодолеть, а пока так оно и есть, то такая энтропия попросту не может быть определена каким-либо традиционным образом. Если же статистика отражает субъективный фактор (незнание или нечто в этом роде), то энтропия не будет функцией состояния частиц самого по себе, и заранее нельзя сказать, насколько это может оказаться важным.